- Laatst bijgewerkt
- Opslaan als PDF
- Pagina-ID
- 30523
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}}}\) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!- \!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{ span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart }{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\ norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm {span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\ mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{ \ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{ \unicode[.8,0]{x212B}}\)
leerdoelen
Aan het einde van dit gedeelte kunt u:
- Los een stelsel vergelijkingen op door eliminatie
- Los toepassingen van stelsels vergelijkingen op door eliminatie
- Kies de handigste methode om een stelsel lineaire vergelijkingen op te lossen
Opmerking
Doe voordat je begint deze voorbereidingsquiz.
- Vereenvoudig −5(6−3a).
Als je dit probleem hebt gemist, bekijk het danOefening 1.10.43. - Los de vergelijking \(\frac{1}{3}x+\frac{5}{8}=\frac{31}{24}\) op.
Als je dit probleem hebt gemist, bekijk het danOefening 2.5.1.
We hebben stelsels van lineaire vergelijkingen opgelost door middel van grafieken en door substitutie. Grafieken werken goed wanneer de variabele coëfficiënten klein zijn en de oplossing gehele waarden heeft. Substitutie werkt goed als we gemakkelijk één vergelijking voor een van de variabelen kunnen oplossen en niet te veel breuken in de resulterende uitdrukking hebben.
De derde methode voor het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen wordt de eliminatiemethode genoemd. Als we een stelsel door substitutie oplosten, begonnen we met twee vergelijkingen en twee variabelen en brachten we het terug tot één vergelijking met één variabele. Dit doen we ook met de eliminatiemethode, maar we hebben een andere manier om daar te komen.
Los een stelsel vergelijkingen op door eliminatie
DeEliminatie methodeis gebaseerd op de toevoegingseigenschap van gelijkheid. De toevoegingseigenschap van gelijkheid zegt dat wanneer je dezelfde hoeveelheid toevoegt aan beide zijden van een vergelijking, je nog steeds gelijkheid hebt. We zullen de toevoegingseigenschap van gelijkheid uitbreiden om te zeggen dat wanneer u gelijke hoeveelheden toevoegt aan beide zijden van een vergelijking, de resultaten gelijk zijn.
Voor alle uitingenA,B,C, EnD,
\[\begin{array}{lc} \text{ if } & a=b \\ \text { en } & c=d \\ \text { then } &a+c =b+d \end{array}\ ]
Om een stelsel vergelijkingen op te lossen door eliminatie, beginnen we met beide vergelijkingen in standaardvorm. Vervolgens beslissen we welke variabele het gemakkelijkst te elimineren is. Hoe beslissen we? We willen dat de coëfficiënten van één variabele tegengesteld zijn, zodat we de vergelijkingen bij elkaar kunnen optellen en die variabele kunnen elimineren.
Merk op hoe dat werkt als we deze twee vergelijkingen bij elkaar optellen:
\[\begin{array}{l} 3x+y=5 \\ \onderstrepen{2x-y=0} \\ 5x\quad\quad=5\end{array}\]
Dejs optellen bij nul en we hebben één vergelijking met één variabele.
Laten we een andere proberen:
\[\links\{\begin{array}{l}{x+4 y=2} \\ {2 x+5 y=-2}\end{array}\right.\]
Deze keer zien we geen variabele die onmiddellijk kan worden geëlimineerd als we de vergelijkingen toevoegen.
Maar als we de eerste vergelijking met −2 vermenigvuldigen, maken we de coëfficiënten vanXtegenstellingen. We moeten elke term aan beide kanten van de vergelijking vermenigvuldigen met −2.
Nu zien we dat de coëfficiënten van deXtermen zijn tegenpolen, dusXwordt geëlimineerd als we deze twee vergelijkingen optellen.
Voeg de vergelijkingen zelf toe - het resultaat zou -3 moeten zijnj= −6. En dat lijkt makkelijk op te lossen, toch? Hier is hoe het eruit zou zien.
We doen er nog een:
\[\links\{\begin{array}{l}{4 x-3 y=10} \\ {3 x+5 y=-7}\end{array}\right.\]
Het lijkt er niet op dat we de coëfficiënten van één variabele tegengesteld kunnen maken door een van de vergelijkingen met een constante te vermenigvuldigen, tenzij we breuken gebruiken. Dus in plaats daarvan moeten we beide vergelijkingen vermenigvuldigen met een constante.
We kunnen de coëfficiënten van makenXtegengesteld zijn als we de eerste vergelijking vermenigvuldigen met 3 en de tweede met −4, dus we krijgen 12Xen -12X.
Dit geeft ons deze twee nieuwe vergelijkingen:
\[\links\{\begin{uitgelijnd} 12 x-9 y &=30 \\-12 x-20 y &=28 \end{uitgelijnd}\rechts.\]
Wanneer we deze vergelijkingen toevoegen,
\[\[\links\{\begin{array}{r}{12 x-9 y=30} \\ {\onderstrepen{-12 x-20 y=28}} \\\end{array}\right .\\\quad\qquad {-29 y=58}\]\]
deXs worden geëlimineerd en we hebben gewoon −29j= 58.
Zodra we een vergelijking hebben met slechts één variabele, lossen we deze op. Vervolgens vervangen we die waarde in een van de oorspronkelijke vergelijkingen om de resterende variabele op te lossen. En zoals altijd controleren we ons antwoord om er zeker van te zijn dat het een oplossing is voor beide oorspronkelijke vergelijkingen.
Nu zullen we zien hoe we eliminatie kunnen gebruiken om hetzelfde stelsel vergelijkingen op te lossen dat we hebben opgelost door middel van grafieken en substitutie.
Oefening \(\PageIndex{1}\): Een stelsel van vergelijkingen oplossen door eliminatie
Los het systeem op door eliminatie. \(\links\{\begin{array}{l}{2 x+y=7} \\ {x-2 y=6}\end{array}\right.\)
- Antwoord
-
Oefening \(\PageIndex{2}\)
Los het systeem op door eliminatie. \(\links\{\begin{array}{l}{3 x+y=5} \\ {2 x-3 y=7}\end{array}\right.\)
- Antwoord
-
(2, −1)
Oefening \(\PageIndex{3}\)
Los het systeem op door eliminatie. \(\links\{\begin{array}{l}{4 x+y=-5} \\ {-2 x-2 y=-2}\end{array}\right.\)
- Antwoord
-
(-2,3)
De stappen worden hieronder vermeld voor eenvoudige referentie.
HOE EEN STELSEL VAN VERGELIJKINGEN OP TE LOSSEN DOOR ELIMINATIE.
- Schrijf beide vergelijkingen in standaardvorm. Als coëfficiënten breuken zijn, wis ze dan.
- Maak de coëfficiënten van één variabele tegengesteld.
- Bepaal welke variabele u wilt elimineren.
- Vermenigvuldig een of beide vergelijkingen zodat de coëfficiënten van die variabele tegengesteld zijn.
- Voeg de vergelijkingen toe die het resultaat zijn van stap 2 om één variabele te elimineren.
- Los op voor de resterende variabele.
- Vervang de oplossing uit stap 4 door een van de oorspronkelijke vergelijkingen. Los dan op voor de andere variabele.
- Schrijf de oplossing als een geordend paar.
- Controleer of het bestelde paar een oplossing is voorbeideoorspronkelijke vergelijkingen.
Eerst doen we een voorbeeld waarbij we één variabele meteen kunnen elimineren.
Oefening \(\PageIndex{4}\)
Los het systeem op door eliminatie. \(\links\{\begin{array}{l}{x+y=10} \\ {x-y=12}\end{array}\right.\)
- Antwoord
-
Beide vergelijkingen zijn in standaardvorm. De coëfficiënten vanjzijn al tegenpolen. Voeg de twee vergelijkingen toe om te eliminerenj.
De resulterende vergelijking heeft slechts 1 variabele,X.Oplossen voorX, de resterende variabele. VervangingX= 11 in een van de oorspronkelijke vergelijkingen.
Los op voor de andere variabele,j. Schrijf de oplossing als een geordend paar. Het geordende paar is (11, −1). Controleer of het bestelde paar een oplossing is
naarbeideoorspronkelijke vergelijkingen.\(\begin{array}{rllrll} x+y &=&10 &x-y&=&12\\ 11+(-1) &\stackrel{?}{=}&10 & 11-(-1) &\stackrel{ ?}{=}&12\\ 10 &=&10 \vinkje & 12 &=&12 \vinkje \end{array}\)
De oplossing is (11, −1).
Oefening \(\PageIndex{5}\)
Los het systeem op door eliminatie. \(\links\{\begin{array}{l}{2 x+y=5} \\ {x-y=4}\end{array}\right.\)
- Antwoord
-
(3, −1)
Oefening \(\PageIndex{6}\)
Los het stelsel op door eliminatie.\(\left\{\begin{array}{l}{x+y=3} \\ {-2 x-y=-1}\end{array}\right.\)
- Antwoord
-
(-2,5)
In Oefening \(\PageIndex{7}\) kunnen we de coëfficiënten van één variabele tegengesteld maken door één vergelijking met een constante te vermenigvuldigen.
Oefening \(\PageIndex{7}\)
Los het systeem op door eliminatie. \(\links\{\begin{array}{l}{3 x-2 y=-2} \\ {5 x-6 y=10}\end{array}\right.\)
- Antwoord
-
Beide vergelijkingen zijn in standaardvorm. Geen van de coëfficiënten is tegengesteld. We kunnen de coëfficiënten van makenjtegenstellingen door te vermenigvuldigen
de eerste vergelijking door −3.Makkelijker maken. Voeg de twee vergelijkingen toe om te eliminerenj. Los op voor de resterende variabele,X.
VervangingX= −4 in een van de oorspronkelijke vergelijkingen.Oplossen voorj.
Schrijf de oplossing als een geordend paar. Het geordende paar is (−4, −5). Controleer of het bestelde paar een oplossing is voor
beide oorspronkelijke vergelijkingen.\(\begin{array}{rllrll} 3x-2j &=&-2 &5x-6j&=&10\\ 3(-4)-2(-5) &\stackrel{?}{=}&-2 & 5 (-4)-6(-5) &\stackrel{?}{=}&10\\ -12+10&\stackrel{?}{=}&-2 &-20+30&\stackrel{?}{=} &10\\-2 &=&-2 \vinkje & 10 &=&10 \vinkje \end{array}\)
De oplossing is (−4, −5).
Oefening \(\PageIndex{8}\)
Los het stelsel op door eliminatie.\(\left\{\begin{array}{l}{4 x-3 y=1} \\ {5 x-9 y=-4}\end{array}\right.\ )
- Antwoord
-
(1,1)
Oefening \(\PageIndex{9}\)
Los het stelsel op door eliminatie.\(\left\{\begin{array}{l}{3 x+2 y=2} \\ {6 x+5 y=8}\end{array}\right.\)
- Antwoord
-
(-2,4)
Nu gaan we een voorbeeld doen waarbij we beide vergelijkingen met constanten moeten vermenigvuldigen om de coëfficiënten van één variabele tegengesteld te maken.
Oefening \(\PageIndex{10}\)
Los het systeem op door eliminatie. \(\links\{\begin{array}{l}{4 x-3 y=9} \\ {7 x+2 y=-6}\end{array}\right.\)
- Antwoord
-
In dit voorbeeld kunnen we niet slechts één vergelijking met een constante vermenigvuldigen om tegengestelde coëfficiënten te krijgen. Dus we zullen beide vergelijkingen strategisch vermenigvuldigen met een constante om de tegenstellingen te krijgen.
Beide vergelijkingen zijn in standaardvorm. Om tegenover te komen
coëfficiënten vanj, vermenigvuldigen we de eerste vergelijking met 2
en de tweede vergelijking door 3.Makkelijker maken. Voeg de twee vergelijkingen toe om te eliminerenj. Oplossen voorX. VervangingX= 0 in een van de oorspronkelijke vergelijkingen.
Oplossen voorj. Schrijf de oplossing als een geordend paar. Het geordende paar is (0, −3). Controleer of het bestelde paar een oplossing is voor
beideoorspronkelijke vergelijkingen.\(\begin{array}{rllrll} 4x-3j &=&9 &7x+2j&=&-6\\ 4(0)-3(-3) &\stackrel{?}{=}&9 & 7(0) +2(-3) &\stackrel{?}{=}&-6\\9 &=&9 \vinkje & -6 &=&-6 \vinkje \end{array}\)
De oplossing is (0, −3).
Oefening \(\PageIndex{11}\)
Los het systeem op door eliminatie. \(\links\{\begin{array}{l}{3 x-4 y=-9} \\ {5 x+3 y=14}\end{array}\right.\)
- Antwoord
-
(1,3)
Oefening \(\PageIndex{12}\)
Los het systeem op door eliminatie. \(\links\{\begin{array}{l}{7 x+8 y=4} \\ {3 x-5 y=27}\end{array}\right.\)
- Antwoord
-
(4, −3)
Als het stelsel van vergelijkingen breuken bevat, zullen we eerst de breuken wissen door elke vergelijking te vermenigvuldigen met het LCD-scherm.
Oefening \(\PageIndex{13}\)
Los het systeem op door eliminatie. \(\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{2} y=6} \\ {\frac{3}{2} x+\frac{2}{3} y= \frac{17}{2}}\end{array}\right.\)
- Antwoord
-
In dit voorbeeld hebben beide vergelijkingen breuken. Onze eerste stap zal zijn om elke vergelijking te vermenigvuldigen met het LCD-scherm om de breuken te wissen.
Om de breuken te wissen, vermenigvuldigt u elke vergelijking met het LCD-scherm. Makkelijker maken. Nu zijn we klaar om een van de variabelen te elimineren. Let erop dat
beide vergelijkingen zijn in standaardvorm.We kunnen eliminerenjde bovenste vergelijking vermenigvuldigen met −4. Vereenvoudig en voeg toe. VervangingX= 3 in een van de oorspronkelijke vergelijkingen.
Oplossen voorj. Schrijf de oplossing als een geordend paar. Het geordende paar is (3, 6). Controleer of het bestelde paar een oplossing is
naarbeideoorspronkelijke vergelijkingen.\(\begin{array}{rllrll} x+\frac{1}{2}y &=&6 &\frac{3}{2}x+\frac{2}{3}y&=&\frac{17}{ 2}\\ 3+\frac{1}{2}(6) &\stackrel{?}{=}&6 &\frac{3}{2}(3) + \frac{2}{3}(6 )&\stackrel{?}{=}&\frac{17}{2}\\ 3 + 3 &\stackrel{?}{=}&6 & \frac{9}{2 }+4 &\stackrel{? }{=} & \frac{17}{2}\\ 6 &=&6 \checkmark & \frac{9}{2} + \frac{8}{2} &\stackrel{?}{=} & \ frac{17}{2}\\ && & \frac{17}{2} &=&\frac{17}{2} \vinkje \end{array}\)
De oplossing is (3, 6).
Oefening \(\PageIndex{14}\)
Los het systeem op door eliminatie. \(\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3} x-\frac{1}{2} y=1} \\ {\frac{3}{4} x-y= \frac{5}{2}}\end{array}\right.\)
- Antwoord
-
(6,2)
Oefening \(\PageIndex{15}\)
Los het systeem op door eliminatie. \(\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{3}{5} y=-\frac{1}{5}} \\ {-\frac{1}{2} x- \frac{2}{3} y=\frac{5}{6}}\end{array}\right.\)
- Antwoord
-
(1, −2)
In deStelsels van vergelijkingen oplossen door middel van grafiekenwe zagen dat niet alle stelsels van lineaire vergelijkingen een enkel geordend paar als oplossing hebben. Als de twee vergelijkingen echt dezelfde lijn waren, waren er oneindig veel oplossingen. We noemden dat een consistent systeem. Toen de twee vergelijkingen parallelle lijnen beschreven, was er geen oplossing. We noemden dat een inconsistent systeem.
Oefening \(\PageIndex{16}\)
Los het stelsel op door eliminatie.\(\left\{\begin{array}{l}{3 x+4 y=12} \\ {y=3-\frac{3}{4} x}\end{array }\rechts.\)
- Antwoord
-
\(\begin{matrix} {ll} & \left\{\begin{uitgelijnd} 3 x+4 y &=12 \\ y &=3-\frac{3}{4} x \end{uitgelijnd}\ \\\\\text{Schrijf de tweede vergelijking in standaardvorm.} & \left\{\begin{array}{l}{3 x+4 y=12} \\ {\frac{3}{4 } x+y=3}\end{array}\right.\\ \\ \text{Wis de breuken door de tweede vergelijking met 4 te vermenigvuldigen.} & \left\{\begin{aligned} 3 x+4 y &= 12 \\ 4\left(\frac{3}{4} x+y\right) &=4(3) \end{uitgelijnd}\right. \\\\ \text{Vereenvoudigen.} & \left\{ \begin{array}{l}{3 x+4 y=12} \\ {3 x+4 y=12}\end{array}\right.\\\\ \text{Om een variabele te elimineren, vermenigvuldigen we de tweede vergelijking door −1.} & \left\{\begin{array}{c}{3 x+4 y=12} \\ \onderstreep{-3 x-4 y=-12} \end{array}\ rechts.\\ &\qquad\qquad\quad 0=0 \\ \text{Vereenvoudig en voeg toe.} \end{array}\)
Dit is een ware verklaring. De vergelijkingen zijn consistent maar afhankelijk. Hun grafieken zouden dezelfde lijn zijn. Het stelsel heeft oneindig veel oplossingen.
Nadat we de breuken in de tweede vergelijking hadden gewist, viel het je op dat de twee vergelijkingen hetzelfde waren? Dat betekent dat we samenvallende lijnen hebben.
Oefening \(\PageIndex{17}\)
Los het systeem op door eliminatie. \(\links\{\begin{array}{l}{5 x-3 y=15} \\ {y=-5+\frac{5}{3} x}\end{array}\right.\ )
- Antwoord
-
oneindig veel oplossingen
Oefening \(\PageIndex{18}\)
Los het systeem op door eliminatie. \(\links\{\begin{array}{l}{x+2 y=6} \\ {y=-\frac{1}{2} x+3}\end{array}\right.\)
- Antwoord
-
oneindig veel oplossingen
Oefening \(\PageIndex{19}\)
Los het systeem op door eliminatie. \(\links\{\begin{array}{l}{-6 x+15 y=10} \\ {2 x-5 y=-5}\end{array}\right.\)
- Antwoord
-
\(\begin{array} {ll} \text{De vergelijkingen zijn in standaardvorm.}& \left\{\begin{uitgelijnd}-6 x+15 y &=10 \\ 2 x-5 y &=- 5 \end{uitgelijnd}\rechts. \\\\ \text{Vermenigvuldig de tweede vergelijking met 3 om een variabele te elimineren.} & \left\{\begin{array}{l}{-6 x+15 y=10 } \\ {3(2 x-5 y)=3(-5)}\end{array}\right. \\\\ \text{Vereenvoudig en voeg toe.} & \left\{\begin{aligned}{ -6 x+15 y =10} \\ \onderstrepen{6 x-15 y =-15} \end{uitgelijnd}\rechts \\ & \qquad \qquad \quad0\neq 5 \end{array}\)
Deze verklaring is onjuist. De vergelijkingen zijn inconsistent en dus zouden hun grafieken parallelle lijnen zijn.
Het systeem heeft geen oplossing.
Oefening \(\PageIndex{20}\)
Los het systeem op door eliminatie. \(\links\{\begin{array}{l}{-3 x+2 y=8} \\ {9 x-6 y=13}\end{array}\right.\)
- Antwoord
-
geen oplossing
Oefening \(\PageIndex{21}\)
Los het systeem op door eliminatie. \(\links\{\begin{array}{l}{7 x-3 y=-2} \\ {-14 x+6 y=8}\end{array}\right.\)
- Antwoord
-
geen oplossing
Los toepassingen van stelsels van vergelijkingen op door eliminatie
Sommige toepassingsproblemen vertalen zich rechtstreeks in vergelijkingen in standaardvorm, dus we zullen de eliminatiemethode gebruiken om ze op te lossen. Net als voorheen gebruiken we onze probleemoplossingsstrategie om ons te helpen gefocust en georganiseerd te blijven.
Oefening \(\PageIndex{22}\)
De som van twee getallen is 39. Hun verschil is 9. Zoek de getallen.
- Antwoord
-
\(\begin{array} {ll} \textbf{Stap 1. Lees}\text{ het probleem}& \\ \textbf{Stap 2. Identificeer} \text{ waarnaar we op zoek zijn.} & \text{We zoeken naar twee getallen.} \\\textbf{Stap 3. Naam} \text{ waarnaar we zoeken.} & \text{Laat n = het eerste getal.} \\ & \text{ m = het tweede getal } \\\textbf{Stap 4. Vertaal} \text{ naar een stelsel vergelijkingen.}& \\ & \text{De som van twee getallen is 39.} \\ & n+m=39\\ & \text {Hun verschil is 9.} \\ & n−m=9 \\ \\ \text{Het systeem is:} & \left\{\begin{array}{l}{n+m=39} \\ { n-m=9}\end{array}\right. \\\\ \textbf{Stap 5. Los} \text{ het stelsel vergelijkingen op. } & \\ \text{Gebruik} \\ om het stelsel vergelijkingen op te lossen \text{eliminatie. De vergelijkingen zijn in standaard} \\ \text{vorm en de coëfficiënten van m zijn} & \\ \text{opposites. Add.} & \left\{\begin{array}{l}{n +m=39} \\ \onderstrepen{n-m=9}\end{array}\right.\\ &\quad 2n\qquad=48 \\ \\\text{Oplossen voor n.} & n=24 \\ \\ \text{Vervang n=24 door een van de originelen} &n+m=39 \\ \text{vergelijkingen en los formulier op.} & 24+m=39 \\ & m=15 \\ \textbf{Stap 6 Vink}\text{ het antwoord aan.} & \text{Aangezien 24+15=39 en 24−15=9, controleren de antwoorden.}\\ \textbf{Stap 7. Beantwoord} \text{ de vraag.} & \text{De getallen zijn 24 en 15.} \end{array}\)
Oefening \(\PageIndex{23}\)
De som van twee getallen is 42. Hun verschil is 8. Zoek de getallen.
- Antwoord
-
De nummers zijn 25 en 17.
Oefening \(\PageIndex{24}\)
De som van twee getallen is −15. Hun verschil is −35. Zoek de cijfers.
- Antwoord
-
De getallen zijn −25 en 10.
Oefening \(\PageIndex{25}\)
Joe stopt elke dag op weg naar zijn werk bij een burgerrestaurant. Maandag had hij een bestelling van middelgrote friet en twee kleine frisdranken, die in totaal 620 calorieën bevatten. Dinsdag had hij twee bestellingen medium friet en één kleine frisdrank, voor een totaal van 820 calorieën. Hoeveel calorieën zitten er in één bestelling medium friet? Hoeveel calorieën in een kleine frisdrank?
- Antwoord
-
Stap 1. Lezenhet probleem. Stap 2. Identificeerwaar we naar op zoek zijn. We zijn op zoek naar het aantal
calorieën in één bestelling van medium friet
en in een kleine frisdrank.Stap 3. Naamwaar we naar op zoek zijn. LatenF= het aantal calorieën erin
1 bestelling medium friet.
S= het aantal calorieën erin
1 klein frisdrankje.Stap 4. Vertalenin een systeem van vergelijkingen: een middelgrote friet en twee kleine frisdranken hadden een
totaal 620 calorieëntwee middelgrote frietjes en een kleine frisdrank hadden een
totaal 820 calorieën.Ons systeem is: Stap 5. Oplossenhet systeem van vergelijkingen.
Gebruik om het stelsel vergelijkingen op te lossen
eliminatie. De vergelijkingen zijn in standaard
formulier. Om tegengestelde coëfficiënten van te krijgenF,
vermenigvuldig de bovenste vergelijking met −2.Vereenvoudig en voeg toe. Oplossen voorS. VervangingS= 140 in een van de originelen
vergelijkingen en los dan opF.Stap 6. Controleerhet antwoord. Controleer of deze cijfers kloppen
in het probleem en dat zijn ze
oplossingen voor beide vergelijkingen.
Dit laten we aan jou over!Stap 7. Antwoordde vraag. De kleine frisdrank heeft 140 calorieën en
de friet heeft 340 calorieën.
Oefening \(\PageIndex{26}\)
Malik stopt bij de supermarkt om een zak luiers en 2 blikjes flesvoeding te kopen. Hij geeft in totaal $ 37 uit. De volgende week stopt hij en koopt 2 zakken luiers en 5 blikjes flesvoeding voor in totaal $ 87. Hoeveel kost een zak luiers? Hoeveel is een blikje formule?
- Antwoord
-
De zak met luiers kost $ 11 en het blikje formule kost $ 13.
Oefening \(\PageIndex{27}\)
Om aan haar dagelijkse inname van fruit voor die dag te komen, eet Sasha op woensdag een banaan en 8 aardbeien voor een aantal calorieën van 145. De volgende woensdag eet ze twee bananen en 5 aardbeien voor een totaal van 235 calorieën voor het fruit. Hoeveel calorieën zitten er in een banaan? Hoeveel calorieën zitten er in een aardbei?
- Antwoord
-
Er zijn 105 calorieën in een banaan en 5 calorieën in een aardbei.
Kies de handigste methode om een stelsel lineaire vergelijkingen op te lossen
Wanneer je in een latere wiskundeles een stelsel lineaire vergelijkingen moet oplossen, wordt je meestal niet verteld welke methode je moet gebruiken. Die afweging zul je zelf moeten maken. U wilt dus de methode kiezen die het gemakkelijkst is om te doen en uw kans op het maken van fouten minimaliseert.
Oefening \(\PageIndex{28}\)
Bepaal voor elk stelsel lineaire vergelijkingen of het handiger is om het op te lossen door substitutie of eliminatie. Leg je antwoord uit.
- \(\links\{\begin{array}{l}{3 x+8 y=40} \\ {7 x-4 y=-32}\end{array}\right.\)
- \(\links\{\begin{array}{l}{5 x+6 y=12} \\ {y=\frac{2}{3} x-1}\end{array}\right.\)
- Antwoord
-
1. \(\links\{\begin{array}{l}{3 x+8 y=40} \\ {7 x-4 y=-32}\end{array}\right.\)
Aangezien beide vergelijkingen in standaardvorm zijn, is het gebruik van eliminatie het handigst.
2. \(\left\{\begin{array}{l}{5 x+6 y=12} \\ {y=\frac{2}{3} x-1}\end{array}\right. \)
Omdat er al één vergelijking is opgelost voorj, is het gebruik van vervanging het handigst.
Oefening \(\PageIndex{29}\)
Bepaal voor elk stelsel lineaire vergelijkingen of het handiger is om het op te lossen door substitutie of eliminatie. Leg je antwoord uit.
- \(\links\{\begin{array}{l}{4 x-5 y=-32} \\ {3 x+2 y=-1}\end{array}\right.\)
- \(\links\{\begin{array}{l}{x=2 y-1} \\ {3 x-5 y=-7}\end{array}\right.\)
- Antwoord
-
- Aangezien beide vergelijkingen in standaardvorm zijn, is het gebruik van eliminatie het handigst.
- Aangezien er al één vergelijking is opgelost voor xx, is substitutie het handigst.
Oefening \(\PageIndex{30}\)
Bepaal voor elk stelsel lineaire vergelijkingen of het handiger is om het op te lossen door substitutie of eliminatie. Leg je antwoord uit.
- \(\links\{\begin{array}{l}{y=2 x-1} \\ {3 x-4 y=-6}\end{array}\right.\)
- \(\links\{\begin{array}{l}{6 x-2 y=12} \\ {3 x+7 y=-13}\end{array}\right.\)
- Antwoord
-
- Aangezien er al één vergelijking is opgelost voor yy, is substitutie het handigst;
- Aangezien beide vergelijkingen in standaardvorm zijn, is het gebruik van eliminatie het handigst.
Opmerking
Toegang tot deze online bronnen voor aanvullende instructies en oefening met het oplossen van systemen van lineaire vergelijkingen door eliminatie.
- Instructievideo-oplossende systemen van vergelijkingen door eliminatie
- Instructievideo-oplossing door eliminatie
- Instructievideo-oplossingssystemen door eliminatie
Kernconcepten
- Een stelsel van vergelijkingen oplossen door eliminatie
- Schrijf beide vergelijkingen in standaardvorm. Als coëfficiënten breuken zijn, wis ze dan.
- Maak de coëfficiënten van één variabele tegengesteld.
- Bepaal welke variabele u wilt elimineren.
- Vermenigvuldig een of beide vergelijkingen zodat de coëfficiënten van die variabele tegengesteld zijn.
- Voeg de vergelijkingen toe die het resultaat zijn van stap 2 om één variabele te elimineren.
- Los op voor de resterende variabele.
- Vervang de oplossing uit stap 4 door een van de oorspronkelijke vergelijkingen. Los dan op voor de andere variabele.
- Schrijf de oplossing als een geordend paar.
- Controleer of het bestelde paar een oplossing is voorbeideoorspronkelijke vergelijkingen.
FAQs
Hoe moet je een stelsel oplossen? ›
Een stelsel kun je oplossen in 5 stappen:
Nu houd je een vergelijking over met maar één onbekende. Los deze vergelijking op. Je hebt nu één coördinaat van het snijpunt opgelost. Vul het antwoord van stap 2 in in één van de herschreven vergelijkingen (zie stap 1) om de andere variabele op te lossen.
In een vergelijking worden twee termen aan elkaar gelijk gesteld. Een vergelijking kan opgelost worden door de waarde van de onbekende letter uit te rekenen. De functie F=1,8C+32 kan bijvoorbeeld worden gebruikt om uit te rekenen hoeveel graden Celsius (C) overeenkomt met een temperatuur in Fahrenheit (F) van 112∘F.
Hoe kan je zien hoeveel oplossingen een vergelijking heeft? ›Door de discriminant D van een kwadratische vergelijking te berekenen, zie je hoeveel oplossingen er zijn. Er geldt: Als D > 0, dan heeft de vergelijking twee oplossingen. Als D = 0, dan heeft de vergelijking één oplossing.
Wat is een vergelijking oplossen? ›Het oplossen van vergelijkingen is een term uit de wiskunde die aangeeft hoe de waarde(n) van onbekenden bepaald worden uit een of meer vergelijkingen. Een vergelijking bestaat daarbij uit twee wiskundige uitdrukkingen die aan elkaar gelijkgesteld zijn.
Hoe los je een vergelijking met 2 onbekenden op? ›- STAP 1: vermenigvuldig het eerste en het tweede lid van de vergelijking met 2.
- STAP 2:Maak van vergelijking nr 1 en nr2 een stelsel.
- STAP 3:we zonderen in de tweede vergelijking y af.
- STAP 4:Nu berekenen we de sub x dit is de x tussen de haakjes.
Hoe werkt de abc formule? De vergelijking ax²+bx+c=0 is de basisvorm van een kwadratische vergelijking. Een andere benaming voor een kwadratische vergelijking is een vierkantsvergelijking. Een voorbeeld met de abc formule bij gegeven a, b en c (a=3, b=4, c=-7) is deze vergelijking: 3x² + 4x - 7 = 0 of 2x² - 3 = 4x + 3.