GCSE wiskunde Geometrie en maat Congruentie en gelijkenis
Congruente driehoeken
Hier zullen we leren over congruente driehoeken, inclusief hoe ze te identificeren en de congruentie van driehoeken te bewijzen.
Er zijn ook werkbladen met congruente driehoeken op basis van Edexcel-, AQA- en OCR-examenvragen, samen met verdere richtlijnen over waar je heen moet als je nog steeds vastzit.
Wat zijn congruente driehoeken?
Congruente driehoekenzijn driehoeken die exact dezelfde grootte en vorm hebben.
Er zijn4voorwaarden om congruentie in driehoeken te bewijzen.
Zie ook: Congruente vormen
Zij-zij-zij (SSS)
Als twee driehoeken alle drie de zijden gelijk hebben, zijn ze congruente driehoeken.
De tweede driehoek kan een rotatie of een spiegelbeeld zijn van de eerste driehoek (of beide).
Rechte hoek, schuine zijde en een andere zijde (RHS)
Als twee driehoeken rechthoekige driehoeken zijn en de schuine zijde en een van de kortere zijden gelijk zijn, zijn ze congruente driehoeken.
De tweede driehoek kan een rotatie of een spiegelbeeld zijn van de eerste driehoek (of beide). De derde zijde zou ook identiek zijn en dit kan worden gecontroleerd met de stelling van Pythagoras.
Zijhoekzijde (SAS)
Als twee driehoeken twee zijden hebben en de ingesloten hoek hetzelfde is, zijn ze congruente driehoeken. De ingesloten hoek is de hoek tussen de twee zijden.
De tweede driehoek kan een rotatie of een spiegelbeeld zijn van de eerste driehoek (of beide).
Hoek-zijhoek (ASA)
Als twee driehoeken twee hoeken hebben en de ingesloten zijde dezelfde, zijn ze congruente driehoeken. De ingesloten zijde is de zijde tussen de twee hoeken.
De tweede driehoek kan een rotatie of een spiegelbeeld zijn van de eerste driehoek (of beide).
Dit kan ook hoek-hoek-zijde (AAS) worden genoemd, alsof twee hoeken in een driehoek bekend zijn, de derde hoek kan worden uitgewerkt met behulp van het hoekfeit dat de som van de binnenhoeken in een driehoek is180°.
Wat zijn congruente driehoeken?
Trefwoorden
Congruentwordt gebruikt om vormen zoals vierhoeken of polygonen te beschrijven die exact dezelfde vorm en dezelfde grootte hebben.
Vergelijkbaarwordt gebruikt om vormen zoals vierhoeken of polygonen te beschrijven die dezelfde vorm hebben, maar verschillende afmetingen hebben. Er is een schaalfactor in het spel.
Hoe congruente driehoeken te herkennen
Om te herkennen of een paar driehoeken congruent is:
- Controleer de overeenkomstige hoeken en overeenkomstige zijden.
- Bepaal of de vormen congruent zijn of niet.
- Als de driehoeken congruent zijn, geef dan aan welke congruentievoorwaarde bij het paar driehoeken past.
Hoe congruente driehoeken te herkennen
Congruente driehoeken werkblad
Ontvang uw gratis congruente driehoeken-werkblad met 20+ vragen en antwoorden. Inclusief redeneer- en toegepaste vragen.
DOWNLOAD GRATIS
Congruente driehoeken werkblad
Ontvang uw gratis congruente driehoeken-werkblad met 20+ vragen en antwoorden. Inclusief redeneer- en toegepaste vragen.
DOWNLOAD GRATIS
Gerelateerde lessen over congruentie en gelijkenis
Congruente driehoekenmaakt deel uit van onze reeks lessen ter ondersteuning van de revisiecongruentie en gelijkenis. Misschien vindt u het handig om te beginnen met de belangrijkste congruentie- en gelijkenisles voor een samenvatting van wat u kunt verwachten, of om de stapsgewijze handleidingen hieronder te gebruiken voor meer informatie over afzonderlijke onderwerpen. Andere lessen in deze serie zijn:
- Congruentie en gelijkenis
- Congruente vormen
- Gelijkaardige vormen
Congruente driehoeken voorbeelden
Voorbeeld 1: congruente driehoeken herkennen
Bepaal of dit paar driehoeken congruent is. Als ze congruent zijn, geef dan aan waarom:
- Controleer de overeenkomstige hoeken en overeenkomstige zijden.
Beide driehoeken hebben zijden5cmEn7cm. Ze hebben allebei een hoek van95°.
2Bepaal of de vormen congruent zijn of niet.
De95°hoeken zijn in een overeenkomstige positie. De driehoeken zijn spiegelbeelden van elkaar. De driehoeken zijn congruent.
3Als de driehoeken congruent zijn, welke congruentievoorwaarde past dan bij het paar driehoeken.
De driehoeken zijn congruent met de conditiezij-hoek-zijde (SAS).
Voorbeeld 2: congruente driehoeken herkennen
Bepaal of dit paar driehoeken congruent is. Als ze congruent zijn, geef dan aan waarom:
Controleer de overeenkomstige hoeken en overeenkomstige zijden.
Beide driehoeken hebben zijden6,3 cm, 8,1 cmEn10,2 cm.
Bepaal of de vormen congruent zijn of niet.
De driehoeken hebben dezelfde vorm en dezelfde grootte - ze zijn congruent.
Als de driehoeken congruent zijn, welke congruentievoorwaarde past dan bij het paar driehoeken.
De driehoeken zijn congruent met deconditie zij-zij-zij (SSS).
Voorbeeld 3: congruente driehoeken herkennen
Bepaal of dit paar driehoeken congruent is. Als ze congruent zijn, geef dan aan waarom:
Controleer de overeenkomstige hoeken en overeenkomstige zijden.
Beide driehoeken hebben zijden8cm.
Beide driehoeken hebben a50°hoek.
Maar hun tweede invalshoeken zijn anders.
Bepaal of de vormen congruent zijn of niet.
De driehoeken zien eruit alsof ze verschillende vormen hebben MAAR de derde hoek kan worden uitgewerkt.
Gebruikmakend van het hoekfeit dat de som van de binnenhoeken van een driehoek is180°we kunnen de ontbrekende hoek in beide driehoeken berekenen.
De8cmkant is tussen de30°En50°hoeken in beide driehoeken. De driehoeken hebben dezelfde vorm en dezelfde grootte.
Het zijn congruente driehoeken.
Als de driehoeken congruent zijn, welke congruentievoorwaarde past dan bij het paar driehoeken.
De driehoeken zijn congruent met devoorwaarde hoek-zijhoek (ASA).
Voorbeeld 4: congruente driehoeken herkennen
Bepaal of dit paar driehoeken congruent is. Als ze congruent zijn, geef dan aan waarom:
Controleer de overeenkomstige hoeken en overeenkomstige zijden.
Beide driehoeken zijn rechthoekige driehoeken.
Ze hebben allebei een korte zijde van9cm.
Maar de schuine zijde van elke driehoek is anders.
Bepaal of de vormen congruent zijn of niet.
De driehoeken zien eruit alsof ze dezelfde vorm hebben, maar dat zijn ze niet. De driehoeken zijnnietcongruent.
Als de driehoeken congruent zijn, welke congruentievoorwaarde past dan bij het paar driehoeken.
De driehoeken zijnnietcongruent.
De voorwaarde van de rechte hoek, schuine zijde en één andere zijde (RHS) was bijna vervuld, maar niet helemaal.
Hoe congruente driehoeken te bewijzen
Om te bewijzen dat een paar driehoeken congruent is:
- Koppel de overeenkomstige zijden.
- Koppel de overeenkomstige hoeken.
- Geef aan welke congruentievoorwaarde bij het paar driehoeken past.
Hoe congruente driehoeken te bewijzen
Voorbeelden van congruente driehoeken bewijzen
Voorbeeld 5: bewijs dat driehoeken congruent zijn
Bewijs die driehoekabcis congruent aan driehoekDEF.
Koppel de overeenkomstige zijden.
Geef aan welke zijden identiek zijn, hier zijn er twee paar overeenkomstige zijden.
\[\begin{uitlijnen*}AB &= EF \\AC &= DE\\\end{uitlijnen*}\]
Koppel de overeenkomstige hoeken.
Geef aan welke hoeken identiek zijn, hier is er één paar gelijke hoeken.
U moet de juiste notatie gebruiken.
\tekst{hoek} \ CAB = \tekst{hoek} \ DEF
Geef aan welke congruentievoorwaarde bij het paar driehoeken past.
Driehoekabcis congruent aan driehoekDEFomdat ze passen bij dezij-hoek-zijde (SAS)voorwaarde.
Voorbeeld 6: bewijs dat driehoeken congruent zijn
Bewijs die driehoekABDis congruent aan driehoekBCD
Koppel de overeenkomstige zijden.
Geef aan welke zijden identiek zijn, hier is er één paar overeenkomstige zijden. Het is de gemeenschappelijke kant.
BDkomt veel voor
Koppel de overeenkomstige hoeken.
Geef aan welke hoeken identiek zijn, hier zijn er twee paar gelijke hoeken.
U moet de juiste notatie gebruiken.
\[\begin{align*}\text{angle} \ ABD &= \text{angle} \ BDC\\\text{angle} \ ADB &= \text{angle} \ CBD\\\end{align*}\]
Geef aan welke congruentievoorwaarde bij het paar driehoeken past.
DriehoekABDis congruent aan driehoekBCDomdat ze passen bij dehoek-zijhoek (ASA)voorwaarde.
Veelvoorkomende misvattingen
- AAA - alle drie de hoeken
AAA - alle drie de hoeken zijn gelijknieteen voorwaarde voor driehoekscongruentie. Deze twee driehoeken hebben identieke hoeken, maar de tweede driehoek is een vergroting van de eerste driehoek. Het zijn gelijkvormige driehoekennietcongruente driehoeken.
Bijv.
- Onthoud - driehoeken kunnen congruent zijn, maar rotaties of spiegelbeelden
De tweede driehoek kan een rotatie of een spiegelbeeld zijn van de eerste vorm (of beide). De driehoek kan nog steeds congruent zijn.
- Gebruik de juiste notatie
Als we wilden schrijven over de50°hoek we zouden het niet zomaar hoek moeten noemenB.
Het is veel beter om de notatiehoek te gebruikenabc(of hoekCAO).
- Kijk bij examenvragen hoeveel punten het waard is
Sommige examenvragen vragen je dat te doenuitleggenwaarom twee driehoeken congruent zijn en slechts één punt waard zijn, hoeft u hier alleen de congruentievoorwaarde (RHS, SSS, SAS of ASA) te vermelden.
Als de examenvraag u vraagt om te bewijzen dat twee driehoeken congruent zijn en meerdere punten waard zijn. U moet overeenkomen met de3paren van gelijke zijden/hoeken en vermeld de congruentievoorwaarde.
- Geef details voor bewijsvragen (hoger)
Sommige vragen die vragen om te bewijzen dat twee driehoeken congruent zijn, hebben mogelijk meer uitleg nodig in de details. U moet bijvoorbeeld een hoekfeit gebruiken, zoals "alternatieve hoeken zijn gelijk".
Oefen vragen over congruente driehoeken
1. Hier is een paar congruente driehoeken. Aan welke congruentievoorwaarde is voldaan?
SAS
SSS
RHS
ALS EEN
De driehoeken zijn rechthoekige driehoeken. Ze hebben dezelfde schuine zijde en dezelfde korte zijde.
2. Hier is een paar congruente driehoeken. Aan welke congruentievoorwaarde is voldaan?
RHS
SSS
ALS EEN
SAS
De driehoeken hebben twee identieke zijden en een identieke ingesloten hoek.
3. Hier is een paar congruente driehoeken. Aan welke congruentievoorwaarde is voldaan?
RHS
SSS
ALS EEN
SAS
De driehoeken hebben twee identieke hoeken en een identieke ingesloten zijde.
4. Hier is een paar congruente driehoeken. Aan welke congruentievoorwaarde is voldaan?
RHS
SSS
SAS
ALS EEN
De driehoeken hebben drie identieke zijden.
5. Bewijs die driehoekABDis congruent aan driehoekDEF
SAS
Omdat
\begin{uitgelijnd}AB = EF \\AC = DF\\\text{angle} \ CAB= \text{angle} \ DEF\\\end{uitgelijnd}
SAS
Omdat
\begin{uitgelijnd}AB = EF \\AC = DF\\\text{angle} \ A= \text{angle} \ E\\\end{uitgelijnd}
SAS
Omdat
\begin{uitgelijnd}AB = EF \\BC = DE\\\text{angle} \ CAB= \text{angle} \ DEF\\\end{uitgelijnd}
SAS
Omdat
\begin{uitgelijnd}AB = EF \\AC = DF\\\text{angle} \ ABC= \text{angle} \ DEF\\\end{uitgelijnd}
De juiste zijden moeten worden gekoppeld. De juiste notatie moet worden gebruikt voor de hoeken.
6. Bewijs die driehoekABDis congruent aan driehoekDEF
SAS
Omdat
\begin{uitgelijnd}AB = EF \\\text{angle} \ CAB= \text{angle} \ DFE\\\text{angle} \ BAC= \text{angle} \ DEF\\\end{uitgelijnd}
ALS EEN
Omdat
\begin{uitgelijnd}AB = EF \\\text{angle} \ CAB= \text{angle} \ DFE\\\text{angle} \ CBA= \text{angle} \ DEF\\\end{uitgelijnd}
ALS EEN
Omdat
\begin{uitgelijnd}AB = DE \\\text{angle} \ CAB= \text{angle} \ EFD\\\text{angle} \ CBA= \text{angle} \ DEF\\\end{uitgelijnd}
ALS EEN
Omdat
\begin{uitgelijnd}AB = EF \\\text{angle} \ A= \text{angle} \ F\\\text{angle} \ B= \text{angle} \ E\\\end{uitgelijnd}
De juiste zijden moeten worden gekoppeld. De juiste notatie moet worden gebruikt voor de hoeken.
Congruente driehoeken GCSE-vragen
1. Leg uit waarom deze twee driehoeken congruent zijn.
(1 punt)
Toon het antwoord
Zij-hoek-zijde
(alleen het juiste antwoord)
(1)
2. Bewijs die driehoekabcis congruent aan driehoekDEF.
(4 punten)
Toon het antwoord
HoekEOF = 43^{\circ}
Voor het vinden van de hoekEOF
(1)
AC=OF
Voor het matchen van identieke zijden
(1)
\begin{uitgelijnd}\text{angle} \ BAC= \text{angle} \ DEF\\\text{angle} \ BCA= \text{angle} \ EDF\\\end{uitgelijnd}
Voor het matchen van identieke hoeken
(1)
Driehoekabcis congruent aan DriehoekDEFomdat hoek-zijhoek (ASA)
Voor het geven van de juiste conditie
(1)
3.ABCDis een rechthoek.
ACis de diagonaal van de rechthoek.
Driehoek bewijzenabcis congruent aan driehoekACD.
(4 punten)
Toon het antwoord
Hoekabc= hoekADC = 90^{\circ}
Voor het identificeren van de rechte hoeken
(1)
De schuine zijde is AC en is gemeenschappelijk voor beide driehoeken
Voor het identificeren van de schuine zijde
(1)
KantADVERTENTIE= kantBC(omdat de tegenovergestelde zijden van een rechthoek gelijk zijn)
Voor het identificeren van een paar gelijke zijden
(1)
Driehoekabcis congruent aan DriehoekDEFomdat rechte hoek, schuine zijde, zijkant (RHS)
Voor het identificeren van de rechte hoeken
(1)
Controlelijst leren
Je hebt nu geleerd hoe je:
- Identificeer congruente driehoeken en de voorwaarde van congruentie
- Bewijs dat twee driehoeken congruent zijn
De volgende lessen zijn
- Transformaties
- Loci en constructie
- Vectoren
Nog steeds vast?
Bereid je KS4-studenten voor op het succes van wiskunde GCSE's met Third Space Learning. Wekelijkse online één-op-één GCSE wiskundeherzieningslessen gegeven door deskundige wiskundedocenten.
Lees meer over onzeGCSE wiskunde bijlesprogramma.